Введение
Структура педагогического эксперимента
Математическая обработка педагогического эксперимента
Характеристики положения вариационного ряда
Характеристики рассеивания
Корреляционное отношение
Коэффициент вариации
Доверительный интервал
Ранговые корреляции и взаимосвязи в педагогических экспериментах
Коэффициент корреляции Пирсона
Корреляционные матрицы и графы
Коэффициент конкордации
Статистические гипотезы
Критерий Стьюдента
Критерий Крамера-Уэлча
Критерий Фишера
Критерий Пирсона
Проверка нормальности распределения
Критерий Манна-Уитни
Критерий Колмогорова-Смирнова
Критерий Вилкоксона
Критерий знаков
Критерий Макнамары
Критерий Крускала-Уоллиса
Критерий Фридмана
Критерий Пейджа
Значимость коэффициента корреляции
Существенность коэффициента конкордации
Новости науки
Отзыв на книгу (проф. Смирнов Е.И.)
Отзывы

Характеристики положения вариационного ряда

Одной из задач педагогического исследования является сравнение полученных результатов

Одной из задач педагогического исследования является сравнение полученных результатов. Например, после проведения контрольной работы в параллельных классах мы хотим узнать, какой класс справился лучше. Таким образом, возникает необходимость сравнения данных из нескольких вариационных (или статистических) рядов.

         После написания срезовой контрольной работы по математике ученики двух десятых классов одной школы показали следующие результаты:

 

Оценка

2

3

4

5

Количество учащихся 10 «А» класса, получивших соответствующую оценку

2

7

10

3

Количество учащихся 10 «Б» класса, получивших соответствующую оценку

1

9

10

1

 

Ученики какого класса справились с контрольной работой лучше? С этой целью охарактеризуем результаты испытания в каждом классе одним числом.

         В математической статистике существует понятие выборочной средней величины.

Пусть выборка задана своим вариационным рядом:

 

Измеряемая величина xi

x1

x2

xk

Частота mi

m1

m2

mk

 

Тогда выборочной средней будет называться величина, определяемая по формуле:

,        или         ,

где n – объём выборки, т.е.:         .

Воспользовавшись предложенной формулой, найдём выборочные средние для двух классов.

         Для 10 «А» класса: .

         Для 10 «Б» класса: .

         Заметим, что выборочная средняя величина в данной задаче показывает среднюю оценку десятиклассников. Тогда, согласно проделанным расчётам, можно сказать, что в 10 «А» классе средняя оценка, полученная за контрольную работу, выше, чем в 10 «Б» классе. Поэтому можно сделать вывод, что 10 «А» класс справился с данной контрольной работой лучше.

         При этом следует иметь в виду, что учащиеся обоих классов писали одну и ту же контрольную работу, и проверял данную работу один учитель. В противном случае, если задания контрольных работ в различных классах были бы разными или они оценивались различными педагогами, сделанный вывод о том, какой класс справился с работой лучше, был бы некорректным.

         Помимо выборочной средней охарактеризовать успеваемость помогает такое понятие как медиана.

         Под медианой выборки понимают такое значение Me измеряемой величины, которое разбивает выборку на две группы такие, что суммы относительных частот в первой и во второй группах должны быть не менее ½.

         Составим таблицу с относительными частотами для 10 «А».

Оценка (вариант)

2

3

4

5

Количество учащихся 10 «А» класса, получивших соответствующую оценку (частота)

2

7

10

3

Относительная частота ()

f1=2/22 

f2=7/22 

f3=10/22 

f4=3/22 

 

Таким образом, в рассмотренном примере для 10 «А» класса медианой является оценка «4», т.к. 10 «А» можно разделить на 2 группы, причем суммы относительных частот в группах будут равны:

 

         Аналогичным образом 10 «Б» можно разбить на 2 группы (10 и 11 человек). В данном случае в роли числа M также выступает число 4, т.к.

         Выборка может иметь одну либо две медианы. Например, по предложенной ниже таблице можно заметить, что выборка имеет медианы M1=3 и M2=4.

Оценка (вариант)

2

3

4

5

Количество учащихся, получивших соответствующую оценку (частота)

1

10

10

1

Относительная частота ()

f1=1/22 

f2=10/22 

f3=10/22 

f4=1/22 

 

Число 3 является медианой, т.к.

         Однако, число 4 также является медианой, потому что:

Заметим, что некоторые авторы считают невозможным наличие двух медиан и предлагают в подобном случае выбрать в качестве медианы среднее арифметическое двух медиан.

В качестве дополнительной характеристики выборки медиану рекомендуется использовать в тех случаях, когда выборка содержит варианты, сильно отличающиеся от выборочного среднего.

         Кроме медианы можно использовать такую числовую характеристику, как мода. Мода показывает, какой вариант встречается в выборке наиболее часто.

         В рассмотренном ранее примере для 10 «А» класса модой является оценка «4», т.к. она имеет самую большую частоту в предложенной выборке.

         Вернемся к примеру с контрольной работой. По имеющимся данным можно найти средний балл за проведённую контрольную работу для обоих классов. Сделать это можно несколькими способами.

         Способ первый. Обобщить имеющиеся данные в виде одного вариационного ряда. Для этого рассчитаем, сколько десятиклассников в двух классах написали контрольную работу на «2», на «3», на «4» и на «5» и запишем данные в таблицу.

 

Оценка

2

3

4

5

Количество учащихся, получивших соответствующую оценку

2+1=3

7+9=16

10+10=20

3+1=4

 

Далее воспользуемся формулой для выборочной средней. При этом учтём, что объём n полученной выборки будет равен 43. Тогда выборочная средняя для двух классов школы будет равна:

.

Таким образом, средний балл за контрольную работу в обоих классах получился выше, чем в «Б» классе и ниже, чем в «А» классе.

         Способ второй.

         Если выборку можно разбить на несколько групп (например, на разные школы, классы и т.д.), то выборочная средняя  для i-ой группы называется групповой средней.

         Известно, что общая выборочная средняя () может быть получена из групповых () средних следующим образом:

Средний балл для обеих групп нам уже известен: для первой группы он равен , а для второй группы – . Тогда выборочную среднюю (средний балл) для двух классов можно рассчитать так:

         Заметим, что решение задачи обоими способами привело нас к одному результату.

         Рассмотрим аналогичный пример. Проведение ЕГЭ по математике в трёх школах дало следующие результаты по 100-балльной шкале:

 

Школа

Школа №1

Школа №2

Школа №3

Средний балл

72

85

69

Количество учащихся, сдававших ЕГЭ

50

44

61

 

Определим средний результат по ЕГЭ для трёх данных школ.

         В предложенной задаче общий объём n выборки – это количество учеников, сдававших ЕГЭ, n=155. Средний балл для каждой школы можно считать групповой средней, где в роли i-ой группы выступает соответствующая школа.

         Тогда решение задачи сводится к вычислению общей средней через групповые средние по указанной выше формуле. . Таким образом, средний результат ЕГЭ для этих трёх школ составляет 74.5 балла.

         Попытаемся определить, как сильно отличаются друг от друга средние результаты по ЕГЭ в трёх школах. Для этого в математической статистике существуют показатели рассеивания.


Читайте также:


градиенты фотошоп, детали.Парадоксы симметриии асимметрии.
Примеры случайностей , а также закономерностей.
Случайные величины и их примеры.