Введение
Структура педагогического эксперимента
Математическая обработка педагогического эксперимента
Характеристики положения вариационного ряда
Характеристики рассеивания
Корреляционное отношение
Коэффициент вариации
Доверительный интервал
Ранговые корреляции и взаимосвязи в педагогических экспериментах
Коэффициент корреляции Пирсона
Корреляционные матрицы и графы
Коэффициент конкордации
Статистические гипотезы
Критерий Стьюдента
Критерий Крамера-Уэлча
Критерий Фишера
Критерий Пирсона
Проверка нормальности распределения
Критерий Манна-Уитни
Критерий Колмогорова-Смирнова
Критерий Вилкоксона
Критерий знаков
Критерий Макнамары
Критерий Крускала-Уоллиса
Критерий Фридмана
Критерий Пейджа
Значимость коэффициента корреляции
Существенность коэффициента конкордации
Новости науки
Отзыв на книгу (проф. Смирнов Е.И.)
Отзывы

Коэффициент корреляции Пирсона

Для определения корреляционной зависимости между двумя случайными величинами используют коэффициент корреляции Пирсона

Для определения корреляционной зависимости между двумя случайными величинами используют коэффициент корреляции Пирсона. Заметим, что понятие корреляции является одним из основных понятий теории вероятностей и математической статистики; оно было введено Гальтоном и Пирсоном.

Рассмотрим пример распределения оценок, для которого использование коэффициента Спирмена нецелесообразно.

 

ученик

1

2

3

4

5

ЕГЭ по физике

98

40

39

39

35

ЕГЭ по математике

92

94

83

80

55

 

В указанной таблице имеет место «скачок» в оценках по физике, выраженный в сильном различии оценок первого и второго учеников. Разница между этими оценками существенна и порождает неравномерность распределения оценок.

         В подобных случаях рекомендуется применять выборочный коэффициент корреляции r Пирсона. Для его расчёта необходимо найти особую величину k(X,Y), называемую ковариацией.

         Пусть величина X принимает значения x1, x2, …, xn, а величина Yy1, y2, …, ym. Тогда можно найти выборочную среднюю для величины X и выборочную среднюю для величины Y. Если nij – это частота, с которой встречается в полученных выборках xi и yj, а n – объём выборки (), то ковариация k(X,Y) вычисляется по формуле:

         Для малых выборок ковариацию удобно находить с помощью ковариационного графа, для построения которого необходимо вычислить выборочные средние для величин X, Y и относительные частоты . Ковариационный граф имеет вид:

Таким образом, ковариацию k(X,Y) можно находить как вес всего ковариационного графа. Заметим, что по корреляционному графу удобно находить и дисперсии случайных величин, которые также необходимы для вычисления коэффициента корреляции Пирсона.

         Выборочный коэффициент корреляции определяется по формуле:

Для иллюстрации использования коэффициента корреляции и применения ковариационного графа рассмотрим пример. В выпускном классе проводились контрольные работы по физике и математике, которые дали следующие результаты:

 

«2»

«3»

«4»

«5»

«2»

1 чел.

2 чел.

1 чел.

-

«3»

1 чел.

4 чел.

2 чел.

-

«4»

-

1 чел.

3 чел.

4 чел.

«5»

-

1 чел.

3 чел.

2 чел.

Определим характер и силу связи между оценками в проведенных работах. Для этого найдём выборочную ковариацию и коэффициент корреляции.

Объём выборки равен n=25, т.к. контрольные работы писали 25 человек (сумма всех данных в таблице).

Пусть X – это оценки по физике, а Y – оценки по математике. Тогда по имеющейся таблице составим две таблицы (по строкам и столбцам) для нахождения выборочных средних.

По физике (величина X):

Оценка

«2»

«3»

«4»

«5»

Количество чел.

4

7

8

6

По математике (величина Y):

Оценка

«2»

«3»

«4»

«5»

Количество чел.

2

8

9

6

По данным таблицам находим выборочные средние:

После этого можно составить ковариационный граф.

Из построенного графа находим ковариацию:

        По корреляционному графу находим и выборочные дисперсии: D(X)=(-1,64)2(0,04+0,08+0,04)+(-0,64)2(0,04+0,16+0,08)+ +(0,36)2(0,04+0,12+0,16)+(1,36)2(0,04+0,12+0,08)=1.03, аналогично вычисляем дисперсию D(Y)=0.82.

Поэтому  Таким образом, между оценками по физике и математике в данной выборке существует прямая связь средней силы.

         Ранговая корреляция Спирмена и выборочный коэффициент корреляции позволяют нам определить характер и силу связи для двух измеряемых величин. Но на практике педагогические и психологические эксперименты зачастую производят измерения большего количества величин. Например, тестирование учащихся может проводиться по таким параметрам, как трудолюбие, усидчивость, память, качество речи и т.д. Для того чтобы узнать, каким образом связаны все эти качества, можно использовать два следующих метода:

1.     Рассматривают попарные связи и иллюстрируют их на корреляционных матрицах или корреляционных графах;

2.     Находят множественный коэффициент ранговой корреляции – коэффициент конкордации.

 


Читайте также:


купить земснаряд, промысловые суда, самоподъемные платформы, земснаряды для песка, баржи, ремонт судов, металлоконструкции изготовление|http://www.origina-l-diplom.comПарадоксы симметриии асимметрии.
Примеры случайностей , а также закономерностей.
Случайные величины и их примеры.